(sin 3x-cos 4x)(cos 5x-sin 4x)=0

Kelas : XI (2 SMA)
Materi : Trigonometri
Kata Kunci : trigonometri, persamaan

Pembahasan :
(sin 3x - cos 4x)(cos 5x - sin 4x) = 0, 0 < x < 360°
⇔ sin 3x cos 5x - sin 3x sin 4x - cos 4x cos 5x + sin 4x cos 4x = 0
⇔ sin 3x cos 5x - sin 3x sin 4x = cos 4x cos 5x - sin 4x cos 4x
⇔ sin 3x(cos 5x - sin 4x) = cos 4x(cos 5x - sin 4x)
⇔ [tex] \frac{sin3x}{cos4x} = \frac{cos5x-sin4x}{cos5x-sin4x} [/tex]
⇔ [tex] \frac{sin3x}{cos4x}=1 [/tex]
⇔ sin 3x = cos 4x
⇔ 3 sin x - 4 sin³ x = 8 cos⁴ x - 8 cos² x + 1
⇔ 3 sin x - 4 sin³ x = 8 cos² x . (cos² x - 1) + 1
⇔ 3 sin x - 4 sin³ x = 8 . (1 - sin² x)(1 - sin² x - 1) + 1
⇔ 3 sin x - 4 sin³ x = 8 . (1 - sin² x)(-sin² x) + 1
⇔ 3 sin x - 4 sin³ x = -8 sin² x + 8 sin⁴ x + 1
⇔ 8 sin⁴ x + 4 sin³ x - 8 sin² x - 3 sin x + 1 = 0
Misalkan sin x = p, sehingga
⇔ 8p⁴ + 4p³ - 8p² - 3p + 1 = 0
⇔ (p + 1)(8p³ - 4p² - 4p + 1) = 0

Karena 8p³ - 4p² - 4p + 1 = 0 tidak dapat difaktorkan, sehingga
p + 1 = 0
⇔ p = -1
⇔ sin x = -1
⇔ sin x = sin 270°
⇔ x = 270 + k . 360 atau x = (180 - 270) + k . 360
untuk k = 0 dan k = 1, diperoleh
x = 270

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan (sin 3x - cos 4x)(cos 5x - sin 4x) = 0 adalah 270.

Semangat!