selidiki bahwa ket (Kn) =(det K) n untuk matriks

Kelas : XII (3 SMA)
Materi : Matriks
Kata Kunci : matriks, determinan, perkalian skalar

Pembahasan :
Matriks merupakan jajaran bilangan-bilangan berbentuk persegi panjang atau persegi yang tersusun dalam baris dan kolom yang terletak di dalam kurung biasa (   ) atau kurung siku [   ].

Bilangan di dalam kurung dinamakan elemen dari matriks. Elemen horisontal dinamakan baris dan elemen vertikal dinamakan kolom.

Sebuah matriks diberi lambang dengan huruf kapital, seperti A, B, dan seterusnya, sedangkan elemen matriks diberi lambang dengan huruf kecil berindeks, yaitu aij dengan 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, serta m dan n menyatakan banyaknya baris dan banyaknya kolom. Contoh : a₁₂, a₂₃, dan seterusnya.

Ordo matriks merupakan bilangan asli yang menyatakan banyaknya baris dan kolom dari matriks tersebut. Seperti matriks A memiliki m baris dan n kolom, dapat dinyatakan sebagai matriks A berordo m x n. Untuk m = n, dapat dinyatakan sebagai matriks A berordo n.

Misalkan

[tex]A= \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] [/tex]

merupakan matriks berordo 2, maka determinan matriks A, ditulis det A atau |A| didefinisikan sebagai 

[tex]|A|= \left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|[/tex]

⇔ |A| = ad - bc

Mari kita lihat soal tersebut.
Selidiki apakah det(K . n) = det(K) . n!

Jawab :
Diketahui

[tex]K= \left[\begin{array}{cc}p&q\\r&s\end{array}\right] [/tex]

merupakan matriks berordo 2 dan n merupakan skalar, sehingga perkalian matriks dengan skalar adalah

[tex]K.n= \left[\begin{array}{cc}p.n&q.n\\r.n&s.n\end{array}\right] [/tex]

Determinan dari perkalian matriks dengan skalar adalah det(K . n) atau

[tex]|K.n|\\= \left|\begin{array}{cc}pn&qn\\rn&sn\end{array}\right| [/tex]
= (pn . sn) - (qn . rn)
= psn² - qrn²

Kemudian, determinan dari matriks K adalah det(K) atau

[tex]|K|\\= \left|\begin{array}{cc}p&q\\r&s\end{array}\right| [/tex]
= ps - qr

dan perkalian determinan dari matriks K dengan skalar adalah det(K) . n atau

|K| . n
= (ps - qr) . n
= ps.n - qr.n

Jadi, |K . n| ≠ |K| . n atau det(K . n) ≠ det(K) . n.

Semangat!