Daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear berbentuk segi lima

Kelas : VIII (2 SMP) dan XII (3 SMA)
Materi : Sistem Peridaksamaan Linear Dua Variabel
Kata Kunci : sistem pertidaksamaan linear dua variabel, persamaan garis, segi lima

Pembahasan :
Persamaan garis melalui dua titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) adalah
[tex] \frac{y-y_1}{y_2-y_1}= \frac{x-x_1}{x_2-x_1} [/tex]

Grafik atau daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel ax + by ≤ 0 merupakan daerah di bawah garis ax + by + c = 0, sedangkan ax + by ≥ 0 merupakan daerah di atas garis ax + by + c = 0. Grafik ini biasanya digambarkan sebagai suatu daerah yang diarsir pada sistem koordinat yang dinamakan daerah himpunan penyelesaian.

Mari kita lihat soal tersebut.
Soal belum lengkap. Seharusnya soal sebagai berikut.
Daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear berbentuk segi lima dengan titik-titik sudut A(1, 2), B(5, -2), C(8, 4), D(7, 7), dan E(3, 6). 
a. Gambarlah daerah penyelesaiannya! 
b. Tentukan sistem pertidaksamaan linear yang mewakili daerah penyelesaian tersebut!

Jawab :
a. Silakan lihat gambar terlampir.

b. Persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan C(8,4) adalah
[tex] \frac{y-2}{4-2}= \frac{x-1}{8-1} [/tex]
⇔ [tex] \frac{y-2}{2}= \frac{x-1}{7} [/tex]
⇔ 2(x - 1) = 7(y - 2)
⇔ 2x - 2 = 7y - 14
⇔ 2x - 7y = -12 ... (1)

Persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan E(3, 6) adalah
[tex] \frac{y-2}{6-2}= \frac{x-1}{3-1} [/tex]
⇔ [tex] \frac{y-2}{4}= \frac{x-1}{2} [/tex]
⇔ 4(x - 1) = 2(y - 2)
⇔ 4x - 4 = 2y - 4
⇔ 4x - 2y = 0 ... (2)

Persamaan garis yang melalui C(8, 4) dan D(7, 7)
[tex] \frac{y-4}{7-4}= \frac{x-8}{7-8} [/tex]
⇔ [tex] \frac{y-4}{3}= \frac{x-8}{-1} [/tex]
⇔ 3(x - 8) = -1(y - 4)
⇔ 3x - 24 = -y + 4
⇔ 3x + y = 28 ... (3)

Persamaan garis yang melalui D(7, 7) dan E(3, 6)
[tex] \frac{y-7}{6-7}= \frac{x-7}{3-7} [/tex]
⇔ [tex] \frac{y-7}{-1}= \frac{x-7}{-4} [/tex]
⇔ -1(x - 7) = -4(y - 7)
⇔ -x + 7 = -4y + 28
⇔ -x + 4y = 21 ... (4)

Persamaan 2x - 7y = -12 ... (1)
cek : kita ambil titik sebarang, misalnya (5, 4), kita substitusikan ke persamaan (1), diperoleh
2(5) - 7(4) = 10 - 28 = -18, sehingga
pertidaksamaan 2x - 7y ≤ -12.

Persamaan 4x - 2y = 0 ... (2)
cek : kita ambil titik sebarang, misalnya (5, 4), kita substitusikan ke persamaan (2), diperoleh
4(5) - 2(4) = 20 - 8 = 12, sehingga
pertidaksamaan 4x - 2y ≥ 0.

Persamaan 3x + y = 28 ... (3)
cek : kita ambil titik sebarang, misalnya (6, 4), kita substitusikan ke persamaan (3), diperoleh
3(6) + 4 = 18 + 4 = 22, sehingga
pertidaksamaan 3x + y ≤ 28.

Persamaan -x + 4y = 21 ... (4)
cek : kita ambil titik sebarang, misalnya (6, 4), kita substitusikan ke persamaan (4), diperoleh
-6 + 4(4) = -6 + 16 = 10, sehingga
pertidaksamaan -x + 4y ≤ 21.

Jadi, sistem pertidaksamaan linear yang mewakili daerah penyelesaian tersebut adalah
2x - 7y ≤ -12;
4x - 2y ≥ 0;
3x + y ≤ 28;
-x + 4y ≤ 21.

Semangat!