Pengertian penerapan induksi Matematika pada ketidaksamaan

Kelas : XII (3 SMA)
Materi : Induksi Matematika
Kata Kunci : induksi matematika, ketaksamaan

Pembahasan :
Untuk setiap bilangan asli n, kita memiliki pernyataan [tex]P_n[/tex] yang memenuhi dua kondisi sebagai berikut.
1. P₁ dibuktikan benar;
2. Jika [tex]P_k[/tex] dianggap benar untuk setiap bilangan asli k, maka [tex]P_{k+1}[/tex] harus dibuktikan juga benar.

Kesimpulan (1) dan (2) menunjukkan [tex]P_n[/tex] benar untuk setiap bilangan asli n.

Mari kita lihat soal tersebut.
Salah satu penerapan induksi matematika pada ketidaksamaan dalam pertidaksamaan eksponen yang akan dijelaskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa 2ⁿ > n.

Bukti :
Misalkan [tex]P_n[/tex] ≡ 2ⁿ > n.
Langkah 1 :
P₁ ≡ 2¹ > 1 (benar)

Langkah 2 :
Anggap [tex]P_k=2^k \ \textgreater \ k[/tex] (benar)
Akan dibuktikan [tex]P_{k+1}=2^{k+1}\ \textgreater \ k+1[/tex] (benar)
[tex]2^{k+1}=2.2^k\\2^{k+1}\ \textgreater \ 2.k\2^{k+1}\\2^{k+1} \textgreater \ k + k[/tex]
[tex]2^{k+1}\ \textgreater \ k+1[/tex] (karena k > 1 benar)

Kesimpulan :
[tex]P_n[/tex] ≡ 2ⁿ > n

Terbukti.

Semangat!